seychellesartprojects.org

Ορισμός Θεωρήματος Κεντρικού Ορίου

Το κεντρικό θεώρημα ορίου δηλώνει ότι τα τυχαία δείγματα μιας τυχαίας μεταβλητής πληθυσμού με οποιαδήποτε κατανομή θα προσεγγίσουν το να είναι μια κανονική κατανομή πιθανότητας καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται και υποθέτει ότι καθώς το μέγεθος του δείγματος στον πληθυσμό υπερβαίνει το 30, ο μέσος όρος του δείγματος που ο μέσος όρος όλων των παρατηρήσεων για το δείγμα θα πλησιάζει ίσο με τον μέσο όρο για τον πληθυσμό.

Τύπος Θεώρημα Κεντρικού Ορίου

Έχουμε ήδη συζητήσει ότι όταν το μέγεθος του δείγματος υπερβαίνει τα 30, η κατανομή έχει τη μορφή κανονικής κατανομής. Για τον προσδιορισμό της κανονικής κατανομής μιας μεταβλητής είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τη μέση τιμή και τη διακύμανση της. Μια κανονική κατανομή μπορεί να δηλωθεί ως

Χ ~ Ν (μ, α)

Που

• N = όχι παρατηρήσεων
• μ = μέσος όρος των παρατηρήσεων
• α = τυπική απόκλιση

Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι παρατηρήσεις δεν αποκαλύπτουν πολλά στην αρχική τους μορφή. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να τυποποιήσετε τις παρατηρήσεις για να μπορέσετε να το συγκρίνετε. Γίνεται με τη βοήθεια του z-score. Απαιτείται να υπολογιστεί η βαθμολογία Ζ για μια παρατήρηση. Ο τύπος για τον υπολογισμό της βαθμολογίας z είναι

Z = (X- μ) / α / √n

Που

• Z = βαθμολογία Z των παρατηρήσεων
• μ = μέσος όρος των παρατηρήσεων
• α = τυπική απόκλιση
• n = μέγεθος δείγματος

Εξήγηση

Το κεντρικό θεώρημα ορίου δηλώνει ότι τα τυχαία δείγματα μιας τυχαίας μεταβλητής πληθυσμού με οποιαδήποτε κατανομή θα προσεγγίσουν να είναι μια κανονική κατανομή πιθανότητας καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται. Το κεντρικό θεώρημα ορίου υποθέτει ότι καθώς το μέγεθος του δείγματος στον πληθυσμό υπερβαίνει τα 30, ο μέσος όρος του δείγματος στο οποίο ο μέσος όρος όλων των παρατηρήσεων για το δείγμα θα είναι κοντά στο μέσο όρο του πληθυσμού. Επίσης, η τυπική απόκλιση του δείγματος όταν το μέγεθος του δείγματος υπερβαίνει το 30 θα είναι ίση με την τυπική απόκλιση του πληθυσμού. Καθώς το δείγμα επιλέγεται τυχαία από ολόκληρο τον πληθυσμό και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο από 30, τότε βοηθά στη δοκιμή υπόθεσης και στην κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης για τη δοκιμή υπόθεσης.

Παραδείγματα τύπου Central Limit Theorem (με πρότυπο Excel)

Μπορείτε να κατεβάσετε αυτό το πρότυπο Central Limit Theorem Formula Excel Template - Central Limit Theorem Formula Excel Template

Παράδειγμα # 1

Ας κατανοήσουμε την έννοια της κανονικής διανομής με τη βοήθεια ενός παραδείγματος. Η μέση απόδοση από αμοιβαίο κεφάλαιο είναι 12% και η τυπική απόκλιση από τη μέση απόδοση για την επένδυση αμοιβαίων κεφαλαίων είναι 18%. Αν υποθέσουμε ότι η κατανομή της απόδοσης κατανέμεται κανονικά από ό, τι ας ερμηνεύσουμε τη διανομή για την απόδοση της επένδυσης του αμοιβαίου κεφαλαίου.

Δεδομένος,

• Η μέση απόδοση της επένδυσης θα είναι 12%
• Η τυπική απόκλιση θα είναι 18%

Έτσι, για να μάθουμε την απόδοση για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95%, μπορούμε να το βρούμε επιλύοντας την εξίσωση ως

• Ανώτερο εύρος = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Χαμηλότερο εύρος = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Το αποτέλεσμα υποδηλώνει ότι το 95% των αποδόσεων από το αμοιβαίο κεφάλαιο θα κυμαίνεται από 47% έως -23%. Σε αυτό το παράδειγμα, το μέγεθος δείγματος που είναι η επιστροφή ενός τυχαίου δείγματος άνω των 30 παρατηρήσεων επιστροφής θα μας δώσει το αποτέλεσμα για την επιστροφή πληθυσμού του αμοιβαίου κεφαλαίου καθώς η κατανομή δείγματος θα διανέμεται κανονικά.

Παράδειγμα # 2

Συνεχίζοντας με το ίδιο παράδειγμα, ας προσδιορίσουμε ποιο θα είναι το αποτέλεσμα για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90%

Δεδομένος,

• Η μέση απόδοση της επένδυσης θα είναι 12%
• Η τυπική απόκλιση θα είναι 18%

Έτσι, για να μάθουμε την απόδοση για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90%, μπορούμε να το βρούμε λύνοντας την εξίσωση ως

• Ανώτερο εύρος = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Χαμηλότερο εύρος = 12 - 1,65 (18) = -18%

Το αποτέλεσμα υποδηλώνει ότι το 90% των φορών που η απόδοση από το αμοιβαίο κεφάλαιο θα κυμαίνεται από 42% έως -18%.

Παράδειγμα # 3

Συνεχίζοντας με το ίδιο παράδειγμα, ας προσδιορίσουμε ποιο θα είναι το αποτέλεσμα για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99%

Δεδομένος,

• Η μέση απόδοση της επένδυσης θα είναι 12%
• Η τυπική απόκλιση θα είναι 18%

Έτσι, για να μάθουμε την απόδοση για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90%, μπορούμε να το βρούμε λύνοντας την εξίσωση ως

• Ανώτερο εύρος = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Χαμηλότερο εύρος = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Το αποτέλεσμα υποδηλώνει ότι το 99% των φορές που η απόδοση από το αμοιβαίο κεφάλαιο θα κυμαίνεται από 58% έως -34%.

Συνάφεια και χρήση

Το κεντρικό θεώρημα ορίου είναι εξαιρετικά χρήσιμο καθώς επιτρέπει στον ερευνητή να προβλέψει τη μέση και την τυπική απόκλιση ολόκληρου του πληθυσμού με τη βοήθεια του δείγματος. Καθώς το δείγμα επιλέγεται τυχαία από ολόκληρο τον πληθυσμό και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο από 30, τότε οποιοδήποτε τυχαίο μέγεθος δείγματος που λαμβάνεται από τον πληθυσμό θα προσεγγίσει την κανονική κατανομή του, το οποίο θα βοηθήσει στη δοκιμή υπόθεσης και στην κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης για την υπόθεση δοκιμές. Με βάση το κεντρικό θεώρημα ορίου,ο ερευνητής είναι σε θέση να επιλέξει οποιοδήποτε τυχαίο δείγμα από ολόκληρο τον πληθυσμό και όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο από 30 τότε μπορεί να προβλέψει τον πληθυσμό με τη βοήθεια του δείγματος καθώς το δείγμα θα ακολουθήσει μια κανονική κατανομή και επίσης ως το μέσο και Η τυπική απόκλιση του δείγματος θα είναι ίδια με τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του πληθυσμού.