Τύπος περιθωρίου σφάλματος | Υπολογισμός βήμα προς βήμα (με παραδείγματα)

Τι είναι το περιθώριο σφάλματος;

Το περιθώριο σφάλματος είναι μια στατιστική έκφραση που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ποσοστιαίας μονάδας με την οποία το αποτέλεσμα που θα φτάσει θα διαφέρει από την τιμή του πραγματικού πληθυσμού και υπολογίζεται διαιρώντας την τυπική απόκλιση του πληθυσμού με το μέγεθος του δείγματος και πολλαπλασιάζοντας τελευταία προκύπτει με τον κρίσιμο παράγοντα.

Ένα υψηλότερο σφάλμα δείχνει ότι υπάρχει μεγάλη πιθανότητα το αποτέλεσμα του δείγματος που αναφέρθηκε να μην είναι η πραγματική αντανάκλαση ολόκληρου του πληθυσμού.

Τύπος περιθωρίου σφάλματος

Ο τύπος για το περιθώριο σφάλματος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τον κρίσιμο παράγοντα (για ένα συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης) με την τυπική απόκλιση πληθυσμού και στη συνέχεια το αποτέλεσμα διαιρείται με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των παρατηρήσεων στο δείγμα.

Μαθηματικά, αντιπροσωπεύεται ως,

Περιθώριο σφάλματος = Z * ơ / √n 

που

  • z = κρίσιμος παράγοντας
  • standard = τυπική απόκλιση πληθυσμού
  • n = μέγεθος δείγματος

Υπολογισμός περιθωρίου σφάλματος (βήμα προς βήμα)

  • Βήμα 1: Πρώτον, συγκεντρώστε τις στατιστικές παρατηρήσεις για να σχηματίσετε ένα σύνολο δεδομένων που ονομάζεται πληθυσμός. Τώρα, υπολογίστε τη μέση τιμή του πληθυσμού. Στη συνέχεια, υπολογίστε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού με βάση κάθε παρατήρηση, τον μέσο πληθυσμό και τον αριθμό των παρατηρήσεων του πληθυσμού όπως φαίνεται παρακάτω.

  • Βήμα 2: Στη συνέχεια, προσδιορίστε τον αριθμό των παρατηρήσεων στο δείγμα και συμβολίζεται με το n. Να θυμάστε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι μικρότερο από ίσο με το συνολικό πληθυσμό, δηλαδή n ≤ N.
  • Βήμα 3: Στη συνέχεια, προσδιορίστε τον κρίσιμο παράγοντα ή τη βαθμολογία z με βάση το επιθυμητό επίπεδο εμπιστοσύνης και δηλώνεται με το z.
  • Βήμα 4: Στη συνέχεια, τέλος το σφάλμα περιθωρίου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τον κρίσιμο παράγοντα για το επιθυμητό επίπεδο εμπιστοσύνης και την τυπική απόκλιση πληθυσμού και στη συνέχεια το αποτέλεσμα διαιρείται με την τετραγωνική ρίζα του μεγέθους δείγματος όπως φαίνεται παραπάνω.

Παράδειγμα

Μπορείτε να κατεβάσετε αυτό το πρότυπο Margin of Error Formula Excel εδώ - Margin of Error Formula Excel Template

Ας πάρουμε το παράδειγμα 900 μαθητών που συμμετείχαν σε μια έρευνα και διαπιστώθηκε ότι η μέση ΣΔΣ του πληθυσμού ήταν 2,7 με τυπική απόκλιση πληθυσμού 0,4. Υπολογίστε το περιθώριο σφάλματος για

  • 90% επίπεδο εμπιστοσύνης
  • 95% επίπεδο εμπιστοσύνης
  • 98% επίπεδο εμπιστοσύνης
  • Επίπεδο εμπιστοσύνης 99%

Θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό.

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 90%

Για ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 90%, ο κρίσιμος παράγοντας ή η τιμή z είναι 1,645, δηλαδή z = 1,645

Επομένως, το σφάλμα σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90% μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο όπως,

  • = 1,645 * 0,4 / √900

Σφάλμα περιθωρίου σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90% θα είναι-

  • Σφάλμα = 0,0219

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 95%

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 95%, ο κρίσιμος παράγοντας ή η τιμή z είναι 1,96 δηλ. Z = 1,96

Επομένως, ο υπολογισμός του περιθωρίου σφάλματος σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο ως,

  • = 1,96 * 0,4 / √900

Σφάλμα περιθωρίου σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% θα είναι-

  • Σφάλμα = 0,0261

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 98%

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 98%, ο κρίσιμος παράγοντας ή η τιμή z είναι 2,33, δηλαδή z = 2,33

Επομένως, ο υπολογισμός του περιθωρίου σφάλματος σε επίπεδο εμπιστοσύνης 98% μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο ως,

  • = 2,33 * 0,4 / √900

Σφάλμα περιθωρίου στο επίπεδο εμπιστοσύνης 98% θα είναι-

  • Σφάλμα = 0,0311

Επομένως, το σφάλμα για το δείγμα στο επίπεδο εμπιστοσύνης 98% είναι 0,0311.

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 99%

Για επίπεδο εμπιστοσύνης 99%, ο κρίσιμος παράγοντας ή η τιμή z είναι 2,58, δηλαδή z = 2,58

Επομένως, ο υπολογισμός του περιθωρίου σε επίπεδο εμπιστοσύνης 99% μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο όπως,

  • = 2,58 * 0,4 / √900

Σφάλμα περιθωρίου στο επίπεδο εμπιστοσύνης 99% θα είναι-

  • Σφάλμα = 0,0344

Κατά συνέπεια, μπορεί να φανεί ότι το σφάλμα ενός δείγματος αυξάνεται με την αύξηση του επιπέδου εμπιστοσύνης.

Υπολογιστής περιθωρίου σφάλματος

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη αριθμομηχανή.

ζ
σ
ν
Τύπος περιθωρίου σφάλματος =
 

Τύπος περιθωρίου σφάλματος =
z * σ
=
√ ν
0 * 0
= 0
√ 0

Συνάφεια και χρήσεις

Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε αυτήν την έννοια, διότι δείχνει πόσο μπορεί κανείς να περιμένει ότι τα αποτελέσματα της έρευνας αντικατοπτρίζουν πραγματικά την πραγματική άποψη του συνολικού πληθυσμού. Θα πρέπει να έχουμε κατά νου ότι μια έρευνα πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μια μικρότερη ομάδα ατόμων (επίσης γνωστή ως ερωτηθέντων) για να αντιπροσωπεύει έναν πολύ μεγαλύτερο πληθυσμό (επίσης γνωστό ως αγορά-στόχος). Το περιθώριο της εξίσωσης σφάλματος μπορεί να θεωρηθεί ως τρόπος μέτρησης της αποτελεσματικότητας της έρευνας. Ένα υψηλότερο περιθώριο υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματα της έρευνας ενδέχεται να απομακρυνθούν από τις πραγματικές προβολές του συνολικού πληθυσμού. Από την άλλη πλευρά, ένα μικρότερο περιθώριο δείχνει ότι τα αποτελέσματα είναι κοντά στην πραγματική αντανάκλαση του συνολικού πληθυσμού που ενισχύει την εμπιστοσύνη για την έρευνα.