Κυρτότητα ενός Ομολόγου | Τύπος | Διάρκεια | Υπολογισμός

Τι είναι η κυρτότητα ενός ομολόγου;

Η κυρτότητα ενός ομολόγου είναι ένα μέτρο που δείχνει τη σχέση μεταξύ τιμής ομολόγου και απόδοσης ομολόγου, δηλαδή, η αλλαγή στη διάρκεια του ομολόγου λόγω αλλαγής στο επιτόκιο, το οποίο βοηθά ένα εργαλείο διαχείρισης κινδύνων να μετρά και να διαχειρίζεται το χαρτοφυλάκιο έκθεση σε κίνδυνο επιτοκίου και κίνδυνο απώλειας προσδοκίας

Εξήγηση

Όπως γνωρίζουμε η τιμή των ομολόγων και η απόδοση σχετίζονται αντιστρόφως, δηλαδή καθώς η απόδοση αυξάνεται, η τιμή μειώνεται. Ωστόσο, αυτή η σχέση δεν είναι μια ευθεία γραμμή αλλά είναι μια κυρτή καμπύλη. Η κυρτότητα μετρά την καμπυλότητα σε αυτήν τη σχέση, δηλαδή πώς αλλάζει η διάρκεια με μια αλλαγή στην απόδοση του ομολόγου.

Η διάρκεια ενός ομολόγου είναι η γραμμική σχέση μεταξύ της τιμής του ομολόγου και των επιτοκίων όπου, καθώς τα επιτόκια αυξάνονται η τιμή του ομολόγου μειώνεται. Με απλά λόγια, μια υψηλότερη διάρκεια σημαίνει ότι η τιμή των ομολόγων είναι πιο ευαίσθητη στις μεταβολές των επιτοκίων. Για μια μικρή και ξαφνική αλλαγή στο ομόλογο, η διάρκεια απόδοσης είναι ένα καλό μέτρο της ευαισθησίας της τιμής του ομολόγου. Ωστόσο, για μεγαλύτερες αλλαγές στην απόδοση, το μέτρο διάρκειας δεν είναι αποτελεσματικό καθώς η σχέση δεν είναι γραμμική και είναι καμπύλη. Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τύποι μετρήσεων διάρκειας, δηλαδή η διάρκεια του Macaulay, η τροποποιημένη διάρκεια, η πραγματική διάρκεια και η διάρκεια του βασικού επιτοκίου, τα οποία όλα μετρούν το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την αποπληρωμή της τιμής του ομολόγου από τις εσωτερικές ταμειακές ροές. Αυτό που διαφέρουν είναι ο τρόπος με τον οποίο αντιμετωπίζουν τις αλλαγές επιτοκίου, τις επιλογές ενσωματωμένων ομολόγων και τις επιλογές εξαγοράς ομολόγων. Ωστόσο,Μην λαμβάνετε υπόψη τη μη γραμμική σχέση μεταξύ τιμής και απόδοσης.

Η κυρτότητα μετρά την ευαισθησία της διάρκειας του ομολόγου για αλλαγή είναι απόδοση. Το Convexity είναι ένα καλό μέτρο για αλλαγές στις τιμές των ομολόγων με μεγαλύτερες διακυμάνσεις στα επιτόκια. Μαθηματικά, η κυρτότητα είναι το δεύτερο παράγωγο του τύπου για αλλαγή στις τιμές των ομολόγων με μεταβολή στα επιτόκια και ένα πρώτο παράγωγο της εξίσωσης διάρκειας.

Τύπος κυρτότητας ομολόγων

  

Υπολογισμός παραδείγματος κυρτότητας

Για ομόλογο ονομαστικής αξίας 1.000 USD με εξαμηνιαίο κουπόνι 8,0% και απόδοση 10% και 6 ετών έως τη λήξη και παρούσα τιμή 911,37, η διάρκεια είναι 4,82 χρόνια, η τροποποιημένη διάρκεια είναι 4,59 και ο υπολογισμός για το Convexity θα ήταν:

Ετήσια κυρτότητα: Εξαμηνιαία κυρτότητα / 4 = 26.2643 Εξαμηνιαία κυρτότητα: 105.0573

Στο παραπάνω παράδειγμα, μια κυρτότητα 26.2643 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη της αλλαγής τιμής για αλλαγή 1% στην απόδοση θα ήταν:

Εάν χρησιμοποιείται η μόνη τροποποιημένη διάρκεια:

Αλλαγή στην τιμή =   - Τροποποιημένη διάρκεια * Αλλαγή στην απόδοση

Αλλαγή στην τιμή για αύξηση της απόδοσης κατά 1% = (- 4,59 * 1%) = -4,59%  

Έτσι, η τιμή θα μειωνόταν κατά 41,83

Για να προσαρμοστεί το κυρτό σχήμα του γραφήματος, η αλλαγή στον τύπο τιμής αλλάζει σε:

Αλλαγή στην τιμή = [ - Τροποποιημένη διάρκεια * Αλλαγή στην απόδοση ] + [ 1/2 * Κυρτότητα * (αλλαγή στην απόδοση) 2 ]

Αλλαγή στην τιμή για αύξηση της απόδοσης κατά 1% = [ -4,59 * 1% ] + [1/2 * 26,2643 * 1%] = -4,46%  

Έτσι, η τιμή θα μειωνόταν μόνο κατά 40,64 αντί για 41,83

Αυτό δείχνει πώς για την ίδια αύξηση της απόδοσης 1% η προβλεπόμενη μείωση της τιμής, αλλάζει εάν η μόνη διάρκεια χρησιμοποιείται σε αντίθεση με την προσαρμογή της καμπύλης απόδοσης της τιμής.

Έτσι, η τιμή με αύξηση της απόδοσης κατά 1% όπως προβλέπεται από την τροποποιημένη διάρκεια είναι 869,54 και όπως προβλεπόταν με τη χρήση τροποποιημένης διάρκειας και κυρτότητας του ομολόγου είναι 870,74. Αυτή η διαφορά 1,12 στην αλλαγή τιμής οφείλεται στο γεγονός ότι η καμπύλη απόδοσης τιμών δεν είναι γραμμική όπως υποτίθεται από τον τύπο διάρκειας.

Τύπος προσέγγισης κυρτότητας

Όπως φαίνεται στον υπολογισμό της κυρτότητας μπορεί να είναι αρκετά κουραστικός και μακρύς, ειδικά όταν το ομόλογο είναι μακροπρόθεσμο και έχει πολλές ταμειακές ροές. Ο τύπος προσέγγισης κυρτότητας έχει ως εξής:

Διαχείριση κυρτότητας και κινδύνου

Όπως φαίνεται από τον τύπο, το Convexity είναι συνάρτηση της τιμής των ομολόγων, YTM (Απόδοση έως τη λήξη), Χρόνος έως τη λήξη και το άθροισμα των ταμειακών ροών. Ο αριθμός των ροών κουπονιών (ταμειακές ροές) αλλάζει τη διάρκεια και ως εκ τούτου την κυρτότητα του ομολόγου. Η διάρκεια ενός μηδενικού ομολόγου είναι ίση με τον χρόνο έως τη λήξη του, αλλά καθώς εξακολουθεί να υπάρχει κυρτή σχέση μεταξύ της τιμής και της απόδοσής του, τα ομόλογα μηδενικού κουπονιού έχουν την υψηλότερη κυρτότητα και οι τιμές του είναι πιο ευαίσθητες σε αλλαγές στην απόδοση.

Στο παραπάνω γράφημα το Bond A είναι πιο κυρτό από το Bond B παρόλο που και τα δύο έχουν την ίδια διάρκεια και ως εκ τούτου το Bond A επηρεάζεται λιγότερο από τις αλλαγές επιτοκίου.

Το Convexity είναι ένα εργαλείο διαχείρισης κινδύνων που χρησιμοποιείται για να καθορίσει πόσο επικίνδυνο είναι ένα ομόλογο όσο περισσότερο η κυρτότητα του ομολόγου, τόσο είναι η ευαισθησία των τιμών του στις μεταβολές των επιτοκίων. Ένα ομόλογο με υψηλότερη κυρτότητα έχει μεγαλύτερη αλλαγή τιμής όταν το επιτόκιο πέφτει από ένα ομόλογο με χαμηλότερη κυρτότητα. Ως εκ τούτου, όταν δύο παρόμοια ομόλογα αξιολογούνται για επένδυση με παρόμοια απόδοση και διάρκεια, το ένα με υψηλότερη κυρτότητα προτιμάται σε σενάρια σταθερού ή μειωμένου επιτοκίου καθώς η μεταβολή των τιμών είναι μεγαλύτερη. Σε ένα σενάριο πτώσης των επιτοκίων και πάλι μια υψηλότερη κυρτότητα θα ήταν καλύτερη καθώς η απώλεια τιμών για μια αύξηση στα επιτόκια θα ήταν μικρότερη.

Θετική και αρνητική κυρτότητα

Η κυρτότητα μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Ένας δεσμός έχει θετική κυρτότητα εάν η απόδοση και η διάρκεια του ομολόγου αυξάνονται ή μειώνονται μαζί, δηλαδή έχουν θετική συσχέτιση. Η καμπύλη απόδοσης για αυτό συνήθως κινείται προς τα πάνω. Αυτός ο τύπος αφορά ένα ομόλογο που δεν έχει επιλογή κλήσης ή προπληρωμή Τα ομόλογα έχουν αρνητική κυρτότητα όταν η απόδοση αυξάνεται, η διάρκεια μειώνεται, δηλαδή υπάρχει αρνητικός συσχετισμός μεταξύ απόδοσης και διάρκειας και η καμπύλη απόδοσης κινείται προς τα κάτω. Αυτά είναι συνήθως ομόλογα με επιλογές κλήσης, τίτλους με υποθήκη και αυτά τα ομόλογα που έχουν δυνατότητα αποπληρωμής. Εάν το ομόλογο με προπληρωμή ή επιλογή κλήσης έχει ένα ασφάλιστρο που πρέπει να καταβληθεί για την πρόωρη έξοδο, τότε η κυρτότητα μπορεί να γίνει θετική.

Οι πληρωμές με κουπόνια και η περιοδικότητα των πληρωμών του ομολόγου συμβάλλουν στην κυρτότητα του ομολόγου. Εάν υπάρχουν περισσότερες περιοδικές πληρωμές κουπονιών καθ 'όλη τη διάρκεια ζωής του ομολόγου, τότε η κυρτότητα είναι υψηλότερη καθιστώντας πιο απρόσβλητη από τους κινδύνους επιτοκίου καθώς οι περιοδικές πληρωμές βοηθούν στην άρνηση της επίδρασης της μεταβολής στα επιτόκια της αγοράς. Εάν υπάρχει εφάπαξ πληρωμή, τότε η κυρτότητα είναι το λιγότερο που καθιστά μια πιο επικίνδυνη επένδυση.

Κυρτότητα ενός χαρτοφυλακίου ομολόγων

Για ένα χαρτοφυλάκιο ομολόγων, η κυρτότητα θα μετρήσει τον κίνδυνο όλων των ομολόγων που έχουν συγκεντρωθεί και είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος των μεμονωμένων ομολόγων χωρίς ομόλογα ή η αγοραία αξία των ομολόγων που χρησιμοποιούνται ως βάρη.

Παρόλο που το Convexity λαμβάνει υπόψη το μη γραμμικό σχήμα της καμπύλης τιμής-απόδοσης και προσαρμόζεται για την πρόβλεψη για αλλαγή τιμής, εξακολουθεί να υπάρχει κάποιο λάθος, καθώς είναι μόνο το δεύτερο παράγωγο της εξίσωσης τιμής-απόδοσης. Για να λάβετε μια πιο ακριβή τιμή για μια αλλαγή στην απόδοση, η προσθήκη του επόμενου παραγώγου θα έδινε μια τιμή πολύ πιο κοντά στην πραγματική τιμή του ομολόγου. Σήμερα με εξελιγμένα μοντέλα υπολογιστών που προβλέπουν τις τιμές, η κυρτότητα είναι περισσότερο ένα μέτρο του κινδύνου του ομολόγου ή του χαρτοφυλακίου ομολόγων. Περισσότερο κυρτό το ομόλογο ή το χαρτοφυλάκιο ομολόγων είναι λιγότερο ριψοκίνδυνο, καθώς η αλλαγή τιμής για μείωση των επιτοκίων είναι μικρότερη. Έτσι, το ομόλογο που είναι πιο κυρτό θα έχει χαμηλότερη απόδοση καθώς οι τιμές της αγοράς με χαμηλότερο κίνδυνο.

Κίνδυνος επιτοκίου και κυρτότητα

Η μέτρηση του κινδύνου για ένα ομόλογο συνεπάγεται έναν αριθμό κινδύνων. Αυτά περιλαμβάνουν, αλλά δεν περιορίζονται σε:

  1. Κίνδυνος αγοράς που αλλάζει στο επιτόκιο της αγοράς με μη κερδοφόρο τρόπο
  2. Ο κίνδυνος προπληρωμής που είναι το ομόλογο αποπληρώνεται νωρίτερα από την ημερομηνία λήξης και έτσι διαταράσσει τις ταμειακές ροές
  3. Ο κίνδυνος αθέτησης που είναι ο εκδότης ομολόγων δεν θα πληρώσει τον τόκο ή το κύριο ποσό

Ο κίνδυνος επιτοκίου είναι ένας γενικός κίνδυνος για όλους τους κατόχους ομολόγων καθώς όλη η αύξηση του επιτοκίου θα μείωνε τις τιμές και όλη η μείωση του επιτοκίου θα αύξανε την τιμή του ομολόγου. Αυτός ο κίνδυνος επιτοκίου μετριέται με τροποποιημένη διάρκεια και βελτιώνεται περαιτέρω από την κυρτότητα. Το Convexity είναι ένα μέτρο του συστημικού κινδύνου καθώς μετρά την επίδραση της αλλαγής στην αξία του χαρτοφυλακίου ομολόγων με μεγαλύτερη μεταβολή στο επιτόκιο της αγοράς, ενώ η τροποποιημένη διάρκεια είναι αρκετή για να προβλέψει μικρότερες αλλαγές στα επιτόκια.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η κυρτότητα είναι θετική για τα κανονικά ομόλογα, αλλά για ομόλογα με προαιρετικά ομόλογα που μπορούν να κληθούν, χρεόγραφα με υποθήκη (που έχουν δυνατότητα προπληρωμής) τα ομόλογα έχουν αρνητική κυρτότητα με χαμηλότερα επιτόκια καθώς αυξάνεται ο κίνδυνος προπληρωμής. Για τέτοια ομόλογα με αρνητική κυρτότητα, οι τιμές δεν αυξάνονται σημαντικά με μείωση των επιτοκίων καθώς οι ταμειακές ροές αλλάζουν λόγω προπληρωμής και πρόωρων κλήσεων.

Καθώς η ταμειακή ροή είναι πιο απλωμένη, η κυρτότητα αυξάνεται καθώς ο κίνδυνος επιτοκίου αυξάνεται με περισσότερα κενά μεταξύ των ταμειακών ροών. Έτσι, η κυρτότητα ως μέτρο είναι πιο χρήσιμη αν τα κουπόνια είναι πιο απλωμένα και έχουν μικρότερη αξία. Εάν έχουμε ομόλογο μηδενικού κουπονιού και χαρτοφυλάκιο ομολόγων μηδενικού κουπονιού, η κυρτότητα έχει ως εξής:

  1. η διάρκεια του ομολόγου μηδενικού κουπονιού που ισούται με τη λήξη του (καθώς υπάρχει μόνο μία ταμειακή ροή) και ως εκ τούτου η κυρτότητά του είναι πολύ υψηλή
  2. ενώ η διάρκεια του χαρτοφυλακίου ομολόγων μηδενικού κουπονιού μπορεί να προσαρμοστεί ως προς τη διάρκεια ενός απλού ομολόγου μηδενικού κουπονιού, μεταβάλλοντας την ονομαστική αξία και την αξία λήξης των ομολόγων μηδενικού κουπονιού εντός του χαρτοφυλακίου. Ωστόσο, η κυρτότητα αυτού του χαρτοφυλακίου είναι υψηλότερη από το ενιαίο ομόλογο μηδενικού κουπονιού. Αυτό συμβαίνει επειδή οι ταμειακές ροές των ομολόγων στο χαρτοφυλάκιο είναι πιο διασκορπισμένες από εκείνες ενός μεμονωμένου ομολόγου μηδενικού κουπονιού.

Η κυρτότητα των ομολόγων με μια επιλογή put είναι θετική, ενώ η ομολογία με μια επιλογή call είναι αρνητική. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όταν μια επιλογή πώλησης είναι στα χρήματα, τότε εάν η αγορά πέσει, μπορείτε να βάλετε το ομόλογο ή αν η αγορά ανεβαίνει, διατηρείτε όλες τις ταμειακές ροές. Αυτό καθιστά την κυρτότητα θετική, ωστόσο, ή μια επιλογή ομολόγου με κλήση, ο εκδότης θα καλούσε το ομόλογο εάν μειωθεί το επιτόκιο της αγοράς και εάν το επιτόκιο της αγοράς αυξάνει την ταμειακή ροή θα διατηρηθεί. Λόγω της πιθανής μεταβολής των ταμειακών ροών, η κυρτότητα του ομολόγου είναι αρνητική καθώς τα επιτόκια μειώνονται.

Η μετρούμενη κυρτότητα του ομολόγου όταν δεν υπάρχει αναμενόμενη μεταβολή στις μελλοντικές ταμειακές ροές ονομάζεται τροποποιημένη κυρτότητα. Όταν αναμένονται αλλαγές στο μέλλον οι ταμειακές ροές, η κυρτότητα που μετράται είναι η πραγματική κυρτότητα.

συμπέρασμα

Η κυρτότητα προκύπτει λόγω του σχήματος της καμπύλης τιμής-απόδοσης. Εάν το γράφημα απόδοσης της αγοράς ήταν σταθερό και όλες οι μεταβολές στις τιμές ήταν παράλληλες μετατοπίσεις, τόσο περισσότερο κυρτό χαρτοφυλάκιο, τόσο καλύτερη θα ήταν η απόδοση και δεν θα υπήρχε χώρος για arbitrage. Ωστόσο, καθώς το γράφημα απόδοσης είναι καμπύλο, για μακροπρόθεσμα ομόλογα, η καμπύλη απόδοσης τιμής έχει σχήμα κοίλου για να καλύψει τη χαμηλότερη κυρτότητα στον τελευταίο όρο.

Τέλος, η κυρτότητα είναι ένα μέτρο της ευαισθησίας των επιτοκίων του ομολόγου ή του χαρτοφυλακίου και θα πρέπει να χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της επένδυσης βάσει του προφίλ κινδύνου του επενδυτή.