seychellesartprojects.org

Τύπος για τον υπολογισμό της διωνυμικής κατανομής

Ο τύπος Binomial Distribution χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας επιτυχίας x στις δοκιμές n του διωνυμικού πειράματος που είναι ανεξάρτητες και η πιθανότητα προκύπτει από το συνδυασμό μεταξύ του αριθμού των δοκιμών και του αριθμού των επιτυχιών που αντιπροσωπεύονται από το nCx πολλαπλασιάζεται με την πιθανότητα επιτυχίας στη δύναμη του αριθμού των επιτυχιών που αντιπροσωπεύονται από px, ο οποίος πολλαπλασιάζεται περαιτέρω με την πιθανότητα της αποτυχίας να αυξάνεται με τη δύναμη της διαφοράς μεταξύ του αριθμού της επιτυχίας και του αριθμού των δοκιμών που αντιπροσωπεύονται από (1-p) nx.

Η πιθανότητα απόκτησης x επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές ενός διωνυμικού πειράματος δίνεται από τον ακόλουθο τύπο διωνυμικής κατανομής:

P (X) = _n C _x px (1-p) nx

όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας

Στην παραπάνω εξίσωση, χρησιμοποιείται το _n C _x , το οποίο δεν είναι παρά τύπος συνδυασμών. Ο τύπος για τον υπολογισμό των συνδυασμών δίνεται ως _n C _x = n! / Χ! (nx)!  όπου n αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αντικειμένων (ανεξάρτητες δοκιμές) και x αντιπροσωπεύει τον αριθμό των στοιχείων που επιλέγονται κάθε φορά (επιτυχίες).

Στην περίπτωση n = 1 σε μια διωνυμική κατανομή, η κατανομή είναι γνωστή ως κατανομή Bernoulli. Ο μέσος όρος μιας διωνυμικής κατανομής είναι np. Η διακύμανση της διωνυμικής κατανομής είναι np (1-p).

Υπολογισμός της διωνυμικής κατανομής (βήμα προς βήμα)

Ο υπολογισμός της διωνυμικής κατανομής μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα τέσσερα απλά βήματα:

• Βήμα 1: Υπολογίστε τον συνδυασμό μεταξύ του αριθμού των δοκιμών και του αριθμού των επιτυχιών. Ο τύπος για το _n C _x είναι όπου n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Για έναν αριθμό n, το παραγοντικό του n μπορεί να γραφτεί ως, n! = n * (n-1)! Για παράδειγμα, 5! είναι 5 * 4 * 3 * 2 * 1
• Βήμα 2: Υπολογίστε την πιθανότητα επιτυχίας που αυξάνεται με τη δύναμη του αριθμού των επιτυχιών που είναι px.
• Βήμα 3: Υπολογίστε την πιθανότητα αποτυχίας που προκύπτει από τη διαφορά μεταξύ του αριθμού των επιτυχιών και του αριθμού των δοκιμών. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι 1-p. Έτσι, αυτό αναφέρεται στη λήψη (1-ρ) nx
• Βήμα 4: Μάθετε το προϊόν των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται στα Βήματα 1, Βήμα 2 και Βήμα 3.

Παραδείγματα

Μπορείτε να κατεβάσετε αυτό το πρότυπο Binomial Distribution Formula Excel εδώ - Πρότυπο Binomial Distribution Excel Formula

Παράδειγμα # 1

Ο αριθμός των δοκιμών (n) είναι 10. Η πιθανότητα επιτυχίας (p) είναι 0,5. Κάντε τον υπολογισμό της διωνυμικής κατανομής για να υπολογίσετε την πιθανότητα να έχετε ακριβώς 6 επιτυχίες.

Λύση:

Χρησιμοποιήστε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό της διωνυμικής κατανομής.

Ο υπολογισμός της διωνυμικής κατανομής μπορεί να γίνει ως εξής,

P (x = 6) = ₁₀ C ₆ * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

               = 210 * 0,015625 * 0,0625

Πιθανότητα πάρει Ακριβώς 6 Επιτυχίες  θα είναι-

P (x = 6) = 0,205

Η πιθανότητα να πάρει ακριβώς 6 επιτυχίες είναι 0,2051

Παράδειγμα # 2

Ένας διευθυντής μιας ασφαλιστικής εταιρείας εξετάζει τα δεδομένα των ασφαλιστηρίων συμβολαίων που πωλούνται από ασφαλιστές πωλητές που εργάζονται υπό αυτόν. Διαπιστώνει ότι το 80% των ατόμων που αγοράζουν ασφάλιση αυτοκινήτων είναι άνδρες. Θέλει να μάθει ότι εάν επιλέγονται τυχαία 8 ιδιοκτήτες ασφάλισης αυτοκινήτων, ποια θα ήταν η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 από αυτούς είναι άνδρες.

Λύση: Πρώτα πρέπει να μάθουμε τι είναι n, p και x.

Ο υπολογισμός της διωνυμικής κατανομής μπορεί να γίνει ως εξής,

P (x = 5) = ₈ C ₅ * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

Πιθανότητα Ακριβώς 5 Επιτυχιών  θα είναι-

P (x = 5) = 0,14680064

Η πιθανότητα ακριβώς 5 ιδιοκτητών ασφάλισης αυτοκινήτων να είναι άνδρες είναι 0,14680064.

Παράδειγμα # 3

Η διαχείριση του νοσοκομείου είναι ενθουσιασμένη για την εισαγωγή ενός νέου φαρμάκου για τη θεραπεία ασθενών με καρκίνο, καθώς η πιθανότητα ενός ατόμου να αντιμετωπιστεί επιτυχώς από αυτό είναι πολύ υψηλή. Η πιθανότητα ενός ασθενούς να αντιμετωπιστεί επιτυχώς από το φάρμακο είναι 0,8. Το φάρμακο χορηγείται σε 10 ασθενείς. Βρείτε την πιθανότητα 9 ή περισσότερων ασθενών να αντιμετωπίζονται επιτυχώς από αυτό.

Λύση: Πρώτα πρέπει να μάθουμε τι είναι n, p και x.

Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα 9 ή περισσότερων ασθενών να αντιμετωπίζονται επιτυχώς από αυτό. Έτσι, είτε 9 είτε 10 ασθενείς αντιμετωπίζονται επιτυχώς από αυτό

x (αριθμός για τον οποίο πρέπει να βρείτε πιθανότητα) = 9 ή x = 10

Πρέπει να βρούμε P (9) και P (10)

Ο υπολογισμός της διωνυμικής κατανομής για εύρεση P (x = 9) μπορεί να γίνει ως εξής,

P (x = 9) = ₁₀ C ₉ * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2)

               = 10 * 0.134217728 * 0,2

Η πιθανότητα 9 ασθενών  θα είναι-

P (x = 9) = 0,2684

Ο υπολογισμός της διωνυμικής κατανομής για εύρεση P (x = 10) μπορεί να γίνει ως εξής,

P (x = 10) = ₁₀ C ₁₀ * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

Η πιθανότητα 10 ασθενών  θα είναι-

P (x = 10) = 0,1074

Επομένως, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Έτσι, η πιθανότητα 9 ή περισσότερων ασθενών να υποβληθούν σε θεραπεία από το φάρμακο είναι 0,375809638.  

Υπολογιστής διωνυμικής κατανομής

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη αριθμομηχανή διωνυμικής διανομής.

ν
Π
Χ
Τύπος διωνυμικής κατανομής =

Τύπος διωνυμικής κατανομής =	n C x * px * (1 -p) nx
	0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0 - 0 =	0

Συνάφεια και χρήση

• Υπάρχουν μόνο δύο αποτελέσματα
• Η πιθανότητα κάθε αποτελέσματος παραμένει σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή
• Υπάρχει ένας σταθερός αριθμός δοκιμών
• Κάθε δοκιμή είναι ανεξάρτητη, δηλαδή αμοιβαία αποκλειστική από άλλες
• Μας παρέχει τη συχνότητα κατανομής του πιθανού αριθμού επιτυχημένων αποτελεσμάτων σε ένα δεδομένο αριθμό δοκιμών όπου κάθε μία από αυτές τις δοκιμές έχει την ίδια πιθανότητα επιτυχίας.
• Κάθε δοκιμή σε ένα διωνυμικό πείραμα μπορεί να οδηγήσει σε δύο πιθανά αποτελέσματα. Ως εκ τούτου, το όνομα είναι «διωνυμικό». Ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι γνωστό ως επιτυχία και το άλλο ως αποτυχία. Για παράδειγμα, τα άτομα που είναι άρρωστα μπορεί να ανταποκριθούν σε μια θεραπεία ή όχι.
• Ομοίως, όταν πετάμε ένα νόμισμα, μπορούμε να έχουμε μόνο δύο τύπους αποτελεσμάτων: κεφαλές ή ουρές. Η διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή κατανομή που χρησιμοποιείται στις στατιστικές, η οποία διαφέρει από τη συνεχή κατανομή.

Ένα παράδειγμα ενός διωνυμικού πειράματος είναι η ρίψη ενός νομίσματος, ας πούμε τρεις φορές. Όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα, είναι δυνατά μόνο 2 αποτελέσματα - κεφαλές και ουρές. Η πιθανότητα κάθε αποτελέσματος είναι 0,5. Δεδομένου ότι το νόμισμα πετιέται τρεις φορές, ο αριθμός των δοκιμών είναι σταθερός που είναι 3. Η πιθανότητα κάθε ρίψης δεν επηρεάζεται από άλλες ρίψεις.

Η διωνυμική διανομή βρίσκει τις εφαρμογές της στις στατιστικές κοινωνικής επιστήμης. Χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη μοντέλων για διχοτομικές μεταβλητές αποτελεσμάτων όπου υπάρχουν δύο αποτελέσματα. Ένα παράδειγμα αυτού είναι εάν οι Ρεπουμπλικάνοι ή οι Δημοκρατικοί θα κέρδιζαν τις εκλογές.

Τύπος Binomial Distribution στο Excel (με πρότυπο excel)

Ο Saurabh έμαθε για τη διωνυμική εξίσωση διανομής στο σχολείο. Θέλει να συζητήσει την ιδέα με την αδερφή του και να ποντάρει μαζί της. Σκέφτηκε ότι θα πετούσε ένα αμερόληπτο νόμισμα 10 φορές. Θέλει να στοιχηματίσει $ 100 για να πάρει ακριβώς 5 ουρές σε 10 νίκες. Για το σκοπό αυτού του στοιχήματος, θέλει να υπολογίσει την πιθανότητα να πάρει ακριβώς 5 ουρές σε 10 νίκες.

Λύση: Πρώτα πρέπει να μάθουμε τι είναι n, p και x.

Υπάρχει ένας ενσωματωμένος τύπος για διωνυμική διανομή είναι το Excel που είναι

Είναι BINOM.DIST (αριθμός επιτυχιών, δοκιμών, πιθανότητα επιτυχίας, FALSE).

Για αυτό το παράδειγμα της διωνυμικής κατανομής θα ήταν:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) όπου το κελί B2 αντιπροσωπεύει τον αριθμό των επιτυχιών, το κελί B3 αντιπροσωπεύει τον αριθμό των δοκιμών και το κελί B4 αντιπροσωπεύει την πιθανότητα επιτυχίας.

Επομένως, ο υπολογισμός της Binomial Distribution θα είναι

P (x = 5) = 0,24609375

Η πιθανότητα να λάβετε ακριβώς 5 ουρές σε 10 ρίψεις είναι 0,24609375

Σημείωση: FALSE στον παραπάνω τύπο δηλώνει τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας. Υπολογίζει την πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς ν επιτυχίες από ανεξάρτητες δοκιμές. TRUE δηλώνει τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής. Υπολογίζει την πιθανότητα να υπάρχουν το πολύ x επιτυχίες από ανεξάρτητες δοκιμές.