seychellesartprojects.org

Τι είναι η εκθετική κατανομή;

Η εκθετική κατανομή αναφέρεται στη συνεχή και συνεχή κατανομή πιθανότητας που χρησιμοποιείται στην πραγματικότητα για τη μοντελοποίηση της χρονικής περιόδου που πρέπει να περιμένει ένα άτομο πριν συμβεί το δεδομένο συμβάν και αυτή η κατανομή είναι ένα συνεχές αντίθετο μιας γεωμετρικής κατανομής που είναι αντίθετα διακριτή.

Τύπος εκθετικής διανομής

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή x (με παράμετρο κλίμακας λ> 0) λέγεται ότι έχει εκθετική κατανομή μόνο εάν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να εκφραστεί πολλαπλασιάζοντας την παράμετρο κλίμακας στην εκθετική συνάρτηση της παραμέτρου μείον κλίμακας και x για όλα τα x μεγαλύτερα από ή ίση με μηδέν, διαφορετικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ίση με μηδέν.

Μαθηματικά, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παρουσιάζεται ως,

έτσι ο μέσος όρος ισούται με 1 / λ και η διακύμανση ισούται με 1 / λ2.

Υπολογισμός της εκθετικής κατανομής (βήμα προς βήμα)

• Βήμα 1: Πρώτον, προσπαθήστε να καταλάβετε εάν το υπό εξέταση συμβάν είναι συνεχές και ανεξάρτητο στη φύση και συμβαίνει με περίπου σταθερό ρυθμό. Κάθε πρακτικό συμβάν θα διασφαλίσει ότι η μεταβλητή είναι μεγαλύτερη ή ίση με μηδέν.
• Βήμα 2: Στη συνέχεια, προσδιορίστε την τιμή της παραμέτρου κλίμακας, η οποία είναι πάντοτε η αντίστροφη του μέσου όρου.

• • λ = 1 / μέσος όρος

• Βήμα 3: Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε την παράμετρο κλίμακας λ και τη μεταβλητή x και, στη συνέχεια, υπολογίστε την εκθετική συνάρτηση του προϊόντος πολλαπλασιασμένη επί μείον ένα, δηλαδή e- λ * x.
• Βήμα 4: Τέλος, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την εκθετική συνάρτηση και την παράμετρο κλίμακας.

Εάν ο παραπάνω τύπος ισχύει για όλα τα x μεγαλύτερα ή ίσα με το μηδέν, τότε το x είναι μια εκθετική κατανομή.

Παράδειγμα

Μπορείτε να κατεβάσετε αυτό το Πρότυπο Exponential Distribution Excel εδώ - Πρότυπο Exponential Distribution Excel

Ας πάρουμε το παράδειγμα, x που είναι ο χρόνος που χρειάζεται (σε ​​λεπτά) από έναν υπάλληλο του γραφείου για παράδοση από το γραφείο του διευθυντή στο γραφείο του γραμματέα. Η συνάρτηση του χρόνου που απαιτείται θεωρείται ότι έχει εκθετική κατανομή με το μέσο χρονικό διάστημα ίσο με πέντε λεπτά.

Δεδομένου ότι το x είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή αφού μετράται ο χρόνος

Μέσος όρος, μ = 5 λεπτά

Επομένως, παράμετρος κλίμακας, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Ως εκ τούτου, η συνάρτηση εκθετικής πιθανότητας κατανομής μπορεί να προκύψει ως,

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Τώρα, υπολογίστε τη συνάρτηση πιθανότητας σε διαφορετικές τιμές του x για να εξαγάγετε την καμπύλη κατανομής.

Για x = 0

η συνάρτηση πιθανότητας εκθετικής κατανομής για το x = 0 θα είναι,

Ομοίως, υπολογίστε τη συνάρτηση εκθετικής πιθανότητας κατανομής για x = 1 έως x = 30

• Για x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
• Για x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
• Για x = 2, f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
• Για x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,10
• Για x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
• Για x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
• Για x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
• Για x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
• Για x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
• Για x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
• Για x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
• Για x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
• Για x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
• Για x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
• Για x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
• Για x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
• Για x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
• Για x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
• Για x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
• Για x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
• Για x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
• Για x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
• Για x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
• Για x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
• Για x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
• Για x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
• Για x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
• Για x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
• Για x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
• Για x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
• Για x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Έχουμε παράγει την καμπύλη διανομής ως εξής,

Συνάφεια και χρήση

Αν και η υπόθεση ενός σταθερού ρυθμού ικανοποιείται σπάνια στα σενάρια του πραγματικού κόσμου, εάν το χρονικό διάστημα επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε ο ρυθμός να είναι περίπου σταθερός, τότε η εκθετική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα καλό κατά προσέγγιση μοντέλο. Έχει πολλές άλλες εφαρμογές στον τομέα της φυσικής, της υδρολογίας κ.λπ.

Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανότητας, η έκφραση της εκθετικής κατανομής αναφέρεται στην κατανομή πιθανότητας που χρησιμοποιείται για τον καθορισμό του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων που συμβαίνουν ανεξάρτητα και συνεχώς με σταθερό μέσο ρυθμό. Είναι μια από τις εκτεταμένες διανομές που χρησιμοποιούνται ευρέως και σχετίζεται αυστηρά με τη διανομή Poisson στο excel.