Τύπος διανομής T | Υπολογισμός κατανομής μαθητών T | Παράδειγμα

Τύπος για τον υπολογισμό της κατανομής T του μαθητή

Ο τύπος για τον υπολογισμό της κατανομής Τ (που είναι επίσης ευρέως γνωστός ως Κατανομή Τ του Φοιτητή) εμφανίζεται ως Αφαίρεση του μέσου πληθυσμού (μέσος όρος του δεύτερου δείγματος) από τον μέσο όρο δείγματος (μέσος όρος του πρώτου δείγματος) που είναι [x-bar - μ] το οποίο στη συνέχεια διαιρείται με την τυπική απόκλιση των μέσων που αρχικά διαιρείται με την τετραγωνική ρίζα του n που είναι ο αριθμός μονάδων σε αυτό το δείγμα [s ÷ √ (n)].

Η κατανομή T είναι ένα είδος διανομής που μοιάζει σχεδόν με την κανονική καμπύλη κατανομής ή καμπύλη καμπάνας, αλλά με λίγο πιο παχιά και μικρότερη ουρά. Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό, τότε αυτή η κατανομή θα χρησιμοποιηθεί αντί της κανονικής κατανομής.

Που,

  • x̄ είναι ο μέσος δείκτης
  • μ είναι ο μέσος πληθυσμός
  • s είναι η τυπική απόκλιση
  • n είναι το μέγεθος του δεδομένου δείγματος

Υπολογισμός της κατανομής Τ

Ο υπολογισμός της κατανομής t του μαθητή είναι αρκετά απλός, αλλά ναι, απαιτούνται οι τιμές. Για παράδειγμα, κάποιος χρειάζεται τον μέσο πληθυσμό που σημαίνει το σύμπαν που δεν είναι παρά μέσος όρος του πληθυσμού, ενώ ο μέσος όρος δείγματος απαιτείται για να ελεγχθεί η αυθεντικότητα του πληθυσμού σημαίνει εάν η δήλωση που αξιώνεται με βάση τον πληθυσμό είναι πράγματι αληθινή και δείγμα αν ληφθεί θα αντιπροσωπεύει την ίδια δήλωση. Έτσι, ο τύπος κατανομής t αφαιρεί τον μέσο όρο δείγματος από τον μέσο όρο πληθυσμού και στη συνέχεια τον διαιρεί με τυπική απόκλιση και πολλαπλασιάζεται με την τετραγωνική ρίζα του μεγέθους δείγματος για να τυποποιήσει την τιμή.

Ωστόσο, δεδομένου ότι δεν υπάρχει εύρος για τον υπολογισμό της κατανομής t, η τιμή μπορεί να γίνει παράξενη και δεν θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την πιθανότητα, καθώς η κατανομή t του μαθητή έχει περιορισμούς να φτάσει σε μια τιμή και ως εκ τούτου είναι χρήσιμη μόνο για μικρότερο μέγεθος δείγματος. Επίσης, για να υπολογίσετε την πιθανότητα μετά την άφιξη στο σκορ, πρέπει να βρείτε την αξία αυτού από τον πίνακα διανομής t του μαθητή.

Παραδείγματα

Μπορείτε να κατεβάσετε αυτό το πρότυπο T Distribution Excel εδώ - Πρότυπο T Distribution Excel

Παράδειγμα # 1

Λάβετε υπόψη σας τις ακόλουθες μεταβλητές:

  • Μέσος πληθυσμός = 310
  • Τυπική απόκλιση = 50
  • Μέγεθος του δείγματος = 16
  • Μέσος δείκτης = 290

Υπολογίστε την τιμή κατανομής t.

Λύση:

Χρησιμοποιήστε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό της κατανομής Τ.

Έτσι, ο υπολογισμός της κατανομής Τ μπορεί να γίνει ως εξής-

Εδώ δίνονται όλες οι τιμές, απλά πρέπει να ενσωματώσουμε τις τιμές.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διανομής t

Τιμή t = (290 - 310) / (50 / √16)

Τιμή T = -1,60

Παράδειγμα # 2

Η εταιρεία SRH ισχυρίζεται ότι οι υπάλληλοί της σε επίπεδο αναλυτή κερδίζουν κατά μέσο όρο 500 $ ανά ώρα. Επιλέγεται ένα δείγμα 30 υπαλλήλων σε επίπεδο αναλυτή και τα μέσα κέρδη τους ανά ώρα ήταν 450 $ με δείγμα απόκλιση 30 $ και υποθέτοντας ότι ο ισχυρισμός τους είναι αληθινός, υπολογίστε την τιμή t-διανομής που θα χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί η πιθανότητα για t - κατανομή.

Λύση:

Χρησιμοποιήστε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό της κατανομής Τ.

Έτσι, ο υπολογισμός της κατανομής Τ μπορεί να γίνει ως εξής-

Εδώ δίνονται όλες οι τιμές, απλά πρέπει να ενσωματώσουμε τις τιμές.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διανομής t

Τιμή t = (450 - 500) / (30 / √30)

Τιμή T = -9.13

Εξ ου και η τιμή για το σκορ είναι -9.13

Παράδειγμα # 3

Το διοικητικό συμβούλιο της Universal College είχε πραγματοποιήσει μια δοκιμή επιπέδου IQ σε 50 τυχαία επιλεγμένους καθηγητές. Και το αποτέλεσμα που βρήκαν από αυτό ήταν η μέση βαθμολογία επιπέδου IQ ήταν 120 με διακύμανση 121. Ας υποθέσουμε ότι η βαθμολογία t είναι 2,407. Τι σημαίνει ο πληθυσμός για αυτό το τεστ που θα δικαιολογούσε την τιμή βαθμολογίας t ως 2,407;

Λύση:

Χρησιμοποιήστε τα ακόλουθα δεδομένα για τον υπολογισμό της κατανομής Τ.

Εδώ δίνονται όλες οι τιμές μαζί με την τιμή t, πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση τιμή πληθυσμού αντί της τιμής t αυτήν τη φορά.

Και πάλι, θα χρησιμοποιούσαμε τα διαθέσιμα δεδομένα και θα υπολογίσουμε τα μέσα πληθυσμού εισάγοντας τις τιμές που δίνονται στον παρακάτω τύπο.

Το μέσο δείγμα είναι 120, το μέσο πληθυσμού είναι άγνωστο, η τυπική απόκλιση δείγματος θα είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης που θα είναι 11 και το μέγεθος του δείγματος είναι 50.

Έτσι, ο υπολογισμός του μέσου πληθυσμού (μ) μπορεί να γίνει ως εξής-

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διανομής t

Τιμή t = (120 - μ) / (11 / √50)

2.407 = (120 - μ) / (11 / √50)

-μ = -2.407 * (11 / √50) -120

Ο μέσος πληθυσμός (μ) θα είναι -

μ = 116,26

Εξ ου και η τιμή για τον μέσο πληθυσμό θα είναι 116,26

Συνάφεια και χρήση

Η κατανομή T (και αυτές που σχετίζονται με τις τιμές βαθμολογίας t), χρησιμοποιείται στη δοκιμή υπόθεσης όταν κάποιος πρέπει να μάθει εάν κάποιος πρέπει να απορρίψει ή να αποδεχτεί την μηδενική υπόθεση.

Στο παραπάνω γράφημα, η κεντρική περιοχή θα είναι η περιοχή αποδοχής και η περιοχή ουράς θα είναι η περιοχή απόρριψης. Σε αυτό το γράφημα που είναι μια δοκιμή 2 ουρών, η μπλε σκίαση θα είναι η περιοχή απόρριψης. Η περιοχή στην ουρά μπορεί να περιγραφεί είτε με τις βαθμολογίες t είτε με τις βαθμολογίες z. Πάρτε ένα παράδειγμα, η εικόνα στα αριστερά θα απεικονίζει μια περιοχή στις ουρές πέντε τοις εκατό (που είναι 2,5% και στις δύο πλευρές). Η βαθμολογία z πρέπει να είναι 1,96 (λαμβάνοντας την τιμή από τον πίνακα z), η οποία θα αντιπροσωπεύει ότι οι τυπικές αποκλίσεις 1,96 από τον μέσο όρο ή τη μέση τιμή. Η μηδενική υπόθεση μπορεί να απορριφθεί εάν η τιμή της βαθμολογίας z είναι μικρότερη από την τιμή -1.96 ή η τιμή της βαθμολογίας z είναι μεγαλύτερη από 1,96.

Γενικά, αυτή η κατανομή θα χρησιμοποιηθεί όπως περιγράφεται νωρίτερα όταν κάποιος έχει μικρότερο μέγεθος δείγματος (κυρίως κάτω των 30) ή εάν δεν γνωρίζει ποια είναι η διακύμανση του πληθυσμού ή η τυπική απόκλιση πληθυσμού. Για πρακτικούς σκοπούς (δηλαδή στον πραγματικό κόσμο), αυτό θα συνέβαινε κυρίως. Εάν το μέγεθος του δείγματος που παρέχεται είναι αρκετά μεγάλο, τότε οι 2 κατανομές θα είναι πρακτικά παρόμοιες.